Download e-book for kindle: Almost sure invariance principles for partial sums of weakly by Walter Philipp

By Walter Philipp

ISBN-10: 0821818619

ISBN-13: 9780821818619

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Comportement de (Tn , n ≥ 1). 3. Donner la densité de la loi limite. Identifier la loi limite comme une loi Gamma : Γ (1/2, d/2) avec d = 1. Rappeler sa fonction caractéristique. On parle également de loi du χ2 à d degrés de liberté. Ces lois sont tabulées. 4. En déduire un test pour déterminer si une pièce est non-biaisée. Le cas général 1. Donner la loi de la somme de deux χ2 indépendants à k1 et k2 degrés de liberté. En déduire la loi de kj=1 X2j , où X1 , · · · , Xk sont k gaussiennes indépendantes N (0, 1).

2. On note Xi = Θ + Ei le résultat de la mesure i. Pour calculer la loi de Θ sachant X = (X1 , . . , Xn )t , on applique la même méthode que précédemment. On cherche λ ∈ Rn tel que la variable Z définie par Θ = λt X + Z, soit indépendante de X. Montrer que cette condition se traduit par λt = Cov (Θ, Xt ) (VarX)−1 . où VarX désigne la matrice de variance covariance de X. 3. Montrer que VarX = σ2θ 1n + σ2e In , où 1n est la matrice de taille n × n formée de 1 et In est la matrice identité de Rn .

Temps d’arrêt, 2. τ borné, sont cruciales. Évidemment, si τ = ArgMax {Mn , n ≤ N}, E(Mτ ) > E(M0 ) sauf dans des cas triviaux. On voit donc que 1 doit figurer dans les hypothèse du théorème. Pour justifier 2 nous allons prouver le résultat suivant. 6 Soit (Xn , n ≥ 1) une suite de variables aléatoires indépendantes valant ±1 avec probabilité 1/2. On pose S0 = 0 et pour n ≥ 1 : Sn = X1 + . . + Xn . Pour un entier strictement positif non nul a, on introduit : τ = inf {n ≥ 0, Sn = a} , (avec la convention que τ = +∞, si l’ensemble précédent est vide).

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by Edward
4.0

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